Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若存在，且当时，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递增区间为，无极值；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值；（2）；（3）详见解析．

【解析】

（1）求出，分类讨论的取值，根据导数符号可得单调区间和极值；

（2）令，求解导数，分别讨论时和时两种情况，结合函数最值，可得实数的取值范围；

（3）先令，根据导数判断单调性，把条件转化为，然后构造函数，证明，进而可证.

（1），定义域，，

（i）当时，，在单调递增，无极值；

（ii）当时，令，解得，∴的单调递增区间为；

令，解得，∴的单调递减区间为．

此时有极小值，无极大值．

（2）令，，

则．

（i）时，，在上单调递减，

∴，

∴恒成立，满足题意．

（ii）时，令，，

∴在上单调递减，

∴，

其中，且在上单调递减，

∴根据零点存在性定理，使得，

即，；，

∴，，在上单调递增，

又∵，

∴，，不满足题意，舍掉；

综上可得．

（3）不妨设，则.

∵，∴，

令，，∴在上单增，

∴，从而；

∴，

即；

下面证明，令，则，

即证明，只要证明，

设，∴在上恒成立，

∴在单调递减，故．

∴，即．