Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//A，为正三角形，M为PD中点.

（1）证明:CM//平面PAB；

（2）若二面角P-AB-C的余弦值为，求直线AD与平面PBD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据题意，取的中点为，连接，，利用中点可得平面平面，进而可得结论；

（2）根据题意，取的中点，连接，，，计算可得，进而可得平面，建立坐标系，利用空间向量计算即可.

（1）证明：取的中点为，连接，，如图：

由题意，为直角梯形，，，为中点，

∴，，

又，，

∴平面平面，而平面，平面，

故平面.

（2）由题意，取的中点，连接，，，如图：

因为等腰直角三角形，为正三角形，则，，即平面，即即二面角的平面角为，则，又，则，，由余弦定理可得，则，即，而，所以，平面，由为直角梯形，

所以，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，

设平面的一个法向量为，

由，即，取，所以，

所以，平面的一个法向量为，

所以，

即直线与平面所成的正弦值为.