Question

【题目】给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.

①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

②求证：线段的长为定值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆方程为，准圆方程为；（2）①，证明见解析；②证明见解析

【解析】

（1）根据题意，得到椭圆方程和准圆方程.

（2）（ⅰ）设直线为，联立方程计算得到，得到答案.

（ⅱ）考虑斜率存在和不存在两种情况，设点，切线为，联立方程得到，，得到直线垂直，得到线段为准圆的直径，得到答案.

（1），椭圆方程为，准圆方程为.

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得.

因为直线与椭圆相切，所以，解得，

所以方程为，，.

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直

②当斜率存在时，设点，其中.

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由得.

由化简整理得，

因为，所以有.

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直.

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值6.