Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）当时，写出与的大小关系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）先利用导数求出切线的斜率，然后再求得切点坐标，最后写出切线方程即可；

（Ⅱ）对a进行分类讨论，利用导数研究函数的最值，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．

（Ⅲ）当时，与的大小关系等价于与的大小关系，

令，通过研究的单调性和极值，进而可得，从而可得结果.

（Ⅰ）当时，，，

所以，，因此，

又因为，所以切点为，

所以切线方程为；

（Ⅱ），，，

所以，

因为，所以；

（1）当，即时，

因为，所以，故，

此时函数在上单调递增，

所以函数不存在最小值；

（2）当，即时，

令，因为，所以，

与在上的变化情况如下：

		0	+
	↘	极小值	↗

所以当时，有极小值，也是最小值，

并且，

综上所述，

当时，函数不存在最小值；

当时，函数有最小值．

（Ⅲ）当时，与的大小关系等价于与的大小关系，

下面比较与的大小关系：

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，又，

故，即，故，所以.