Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段的中点.

（Ⅰ）求直线与平面所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若在段上，且直线与平面相交，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

以为坐标原点，建立空间直角坐标系：

（Ⅰ）求得直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角求得线面角的夹角；

（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大小；

（Ⅲ）设出点坐标，根据的方向向量和法向量不垂直，即可求得范围.

（Ⅰ） 因为，

所以；

又因为，，

所以，

因此.

以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，

，，.

所以，，.

设平面的法向量，

由得：

令，则

设直线与平面所成角为，

则有=

所以

即：直线与平面所成角的余弦值为.

（Ⅱ）同理可得：平面的法向量，

则有

因为二面角的平面角为钝角，

所以二面角的大小为.

（Ⅲ）设，

由得：.

则，

又因为直线与平面相交，

所以.

即: , 解得：

所以的取值范围是.