Question

【题目】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.

（1）判断点是否在直线上？说明理由；

（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不在，证明见详解；（2）

【解析】

（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.

（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.

（1）设直线方程，

根据题意可知直线斜率一定存在，

则

则

由

所以

将代入上式

化简可得，所以

则直线方程为，

所以直线过定点，

所以可知点不在直线上.

（2）设

线段的中点为

线段的中点为

则直线的斜率为，

直线的斜率为

可知线段的中垂线的方程为

由，所以上式化简为

即线段的中垂线的方程为

同理可得：

线段的中垂线的方程为

则

由（1）可知：

所以

即，所以点轨迹方程为

焦点为，

所以

当三点共线时，有最大

所以