Question

【题目】设函数，.

（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围..

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后分和两种情况讨论，分析导数在区间上的符号变化，即可得出函数在区间上的单调区间；

（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，则，使得对任意，都有，构造函数，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合在区间上恒成立可求得实数的取值范围.

（1）由，得，，，

当时，由，得，即函数在上单调递增，

由，得，即函数在上单调递减；

当时，在上恒成立，即函数在上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2），当时，由（1）结合函数的单调性知，

，使得对任意，都有，则由得.

设，则，

由得，由得.

（Ⅰ）若，则，故，即函数在上单调递减，

，对任意，都有，不合题意；

（Ⅱ）若，则，故，

在上单调递增，

，对任意，都有，符合题意，

此时取，可使得对，都有.

综上可得的取值范围是.