Question

【题目】已知曲线 （为参数）， （为参数）

（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），为圆心是，半径是的圆；，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；（Ⅱ）.

【解析】

（1）根据 消参即可得到 的普通方程，由普通方程可知为圆心是，半径是的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆。

（2）根据题意求出坐标，利用的参数方程设出Q的直角坐标,由题意可得中点坐标，结合点到直线的距离公式、辅助角公式求出最小距离。

解：（Ⅰ），

为圆心是，半径是的圆

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆

（Ⅱ）当时，，故

为直线，到的距离

，

从而当时，取得最小值.