Question

已知cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）=-

3

5

，β是第二象限角，则tan2β=

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出cosβ的值，由β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，进而求出tanβ的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanβ的值代入即可求出值．

解答：解：∵cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）
=cos[α-（α+β）]=cos（-β）=cosβ=-

3

5

，
∴cosβ=

3

5

，又β是第二象限角，
∴sinβ=-

1-cos2β

=-

4

5

，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=-

4

3

，
则tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2×(- 4 3 )

1-(- 4 3 )2

=

24

7

．
故答案为：

24

7

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．