题目内容

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=
1
3
，且α∈(
3π
2
，2π)，求cos(2α+
π
4
)的值．
分析：利用两角差的余弦公式求出cosα，然后求出2α的正弦与余弦值，通过两角和的余弦函数，代入数据即可求出结果．
解答：解：cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=
1
3
，α∈(
3π
2
，2π)，可得cos（α+β-α）=cosα=
1
3
，
所以cos2α=2cos2α-1=-
7
9
，sin2α=2sinαcosα=-
4
2
9
，
所以cos(2α+
π
4
)=
2
2
(-
7
9
+
4
2
9
)=
8-7
2
18
；
故答案为：
8-7
2
18
．
点评：本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，求出cosα是解题的关键．
练习册系列答案
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已知cos(
π
4
+x)=
4
5
，
17π
12
＜x＜
7π
4
，求
sin2x-2sin2x
1-tanx
的值．
已知cos(α-
π
2
)=
3
5
，则sin2α-cos2α的值为
 
．
已知cosα=-
4
5
，α∈（π，
3π
2
），求tan（α+
π
4
）的值．
（2012•奉贤区二模）已知cos（x-
π
6
）=-
3
3
，则cosx+cos（x-
π
3
）=
-1
-1
．
（1）已知cosα=-
4
5
，求sinα，tanα．
（2）已知tan（π+α）=3，求：
2cos(π-α)-3sin(π+α)
4cos(-α)+sin(2π-α)
的值．

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