题目内容
已知△ABC中，|| AC |
| AD |
| AD |
| 5 |
| 11 |
| DB |
| CD |
| AB |
（1）求|
| AB |
| AC |
（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)=
| 4 |
| 5 |
| π |
| 2 |
分析：（1）先由已知
=
，得到|
|=11再根据向量的数量积为0
•
=0得到CD⊥AB最后利用直角三角形：在Rt△BCD中，求得BC的长度即可；
（2）先在△ABC中，cos∠BAC=
，得到θ=
从而cos(θ+x)=cos(
+x)=
，sin(
+x)=±
利用角的限制条件得出sin(
+x)=
，最后结合三角变换公式即可求得sinx．
| AD |
| 5 |
| 11 |
| DB |
| DB |
| CD |
| AB |
（2）先在△ABC中，cos∠BAC=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
解答：解：（1）由已知
=
，即
=
，
∵|
|=5，∴|
|=11，（2分）
∵
•
=0，∴CD⊥AB，（3分）
在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，
又CD2=AC2-AD2，∴BC2=BD2+AC2-AD2=196，（5分）
∴|
-
=|
|=14．（6分）
（2）在△ABC中，cos∠BAC=
，∴θ=
．（7分）
即cos(θ+x)=cos(
+x)=
，sin(
+x)=±
，（9分）
而-
＜x＜0，-
＜
+x＜
，（10分）
则-
=sin(-
)＜sin(
+x)＜sin
=
，（12分）
∴sin(
+x)=
，∴sinx=sin[(
+x)-
]=
．（14分）
| AD |
| 5 |
| 11 |
| DB |
| DB |
| 11 |
| 5 |
| AD |
∵|
| AD |
| DB |
∵
| CD |
| AB |
在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，
又CD2=AC2-AD2，∴BC2=BD2+AC2-AD2=196，（5分）
∴|
| AB |
| AC |
| BC |
（2）在△ABC中，cos∠BAC=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
即cos(θ+x)=cos(
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
而-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
则-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴sin(
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
3-4
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，解答的关键是灵活应用三角变换的公式进行转换．
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