Question

A、B是抛物线y²＝2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)．求证：

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

(2)直线AB经过一个定点．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y12＝2px1、＝2px2． 　　∵OA⊥OB， 　　∴x1x2＋y1y2＝0，＝4p2x1x2＝4p2·(－y1y2)． 　　∴y1y2＝－4p2，从而x1x2＝4p2也为定值． 　　(2)∵y12－y22＝2p(x1－x2)，∴＝． 　　∴直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 　　即y＝x－·＋y1， 　　y＝x＋， 　　亦即y＝(x－2p)． 　　∴直线AB经过定点(2p，0)．