Question

设A、B是抛物线y²＝2px(x＞0)上不同于顶点的两个点，通过点A与抛物线顶点的直线交准线于点C，且BC∥x轴．证明直线AB经过抛物线的焦点F．

Answer 1

答案：
解析：

解析：如上图所示，设直线AO的方程为y＝kx(k＞0)，代入抛物线方程，得k2x2＝2px．　① 　　若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由①，得 　　x1＝，y1＝kx1＝． 　　因为BC∥x轴，且点C在准线x＝上，所以点C的坐标为(，y2)，又点C在直线AO上，所以将C点的坐标代入y＝kx，得y2＝k，代入抛物线方程得x2＝． 　　又|AF|＝＋，|BF|＝＋， 　　|AB|＝ 　　＝＝ 　　＝p＋＋． 　　且有|AF|＋|BF|＝|AB|． 　　对于k＜0或k不存在时，同理可证上式成立，故直线AB经过抛物线的交点F．