题目内容

若A、B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．

(Ⅰ)证明：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(Ⅱ)试问：点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x0表示)：若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设AB为点P(x0，0)的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

　　(x1，y1)、(x2，y2)(x1x2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，

　　两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为x1x2，所以y1＋y20．

　　设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(xm，ym)，则

　　k＝．

　　从而AB的垂直平分线l的方程为

　　又点P(x0，0)在直线l上，所以－ym

　　而于是

　　故点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

整理得(·)

　　则是方程(·)的两个实根，且

　　设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

　　

　　

　　因为0＜＜4xm＝4(xm－2)＝4x0－8，于是设t＝，则t(0，4x0－8)．

　　记l2＝g(t)＝－[t－2(x0－3)]2＋4(x0－1)2．

　　若x0＞3，则2(x0－3)∈(0，4x0－8)，所以当t＝2(x0－3)，即＝2(x0－3)时，

　　l有最大值2(x0－1)．

　　若2＜x0＜3，则2(x0－1)≤0，g(t)在区间（0，4x0－8）上是减函数，所以

　　0＜l2＜16(x0－2)，l不存在最大值．

　　综上所述，当x0＞3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0－1）；当2＜x0≤3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．


练习册系列答案
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（I）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”；
（I）求点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标；
（II）求点P（4，0）的所有“相关弦”的弦长的最大值．

（本小题满分13分）

若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与

x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）

存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.

（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.

若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0>2．

（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

（II）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．

（湖南卷理20）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.

（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.

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