Question

A、B是抛物线y²＝2px(p＞0)上的两点，满足＝0(O是原点)，求证：

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；

(2)直线AB过定点．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

　　(1)∵＝0，∴OA⊥OB．

　　∴．∴x₁x₂＝－y₂y₂　　①

　　由

　　∴(y₁y₂)²＝4p²(x₁x₂)　　④

　　由①④得y₁y₂＝－4p²且x₁x₂＝4p²．

　　∴结论成立．

　　(2)在(1)中②－③，得(y₁－y₂)(y₁＋y₂)＝2p(x₁－x₂)．

　　∴．

　　∴直线AB方程为y－y₁＝(x－x₁)．

　　∴y＝x＋y₁－＝．

　　∴直线AB过定点(2p，0)．