Question

7．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x²-ax+a=0的两个根（a∈R）．
（1）求sin³θ+cos³θ的值；
（2）求tan θ+$\frac{1}{tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理、结合正弦函数的值域求得a的值，再利用立方和公式求得sin³θ+cos³θ的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：（1）由题意利用韦达定理知：sin θ+cos θ=a，sin θ•cos θ=a．
∵（sin θ+cos θ）²=1+2sin θcos θ，∴a²=1+2a．
解得：a=1-$\sqrt{2}$或a=1+$\sqrt{2}$．
∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a=1+$\sqrt{2}$舍去，a=1-$\sqrt{2}$．
∴sin³θ+cos³θ=（sin θ+cos θ）（sin²θ-sin θcos θ+cos²θ）=（sin θ+cos θ） （1-sin θcos θ）
=a（1-a）=$\sqrt{2}$-2．
（2）tan θ+$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}{sinθ•cosθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$=-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查韦达定理、正弦函数的值域，立方和公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．