Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）．当x∈[0，2）时f（x）=-x²+2x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，且数列{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

S_n=

 

．（其中n∈N^*）

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由函数关系式f（x）=3f（x+2），结合f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n可知数列{a_n}是以

1

3

为公比的等比数列，再由当x∈[0，2）时f（x）=-x²+2x求出首项，代入等比数列的前n项和公式求得数列{a_n}的前n项和为S_n，则其极限可求．

解答： 解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=

1

3

f（x），
就是函数自变量每向右移2个单位，函数值变为原来的

1

3

，
∵f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，且x∈[0，2）时f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，q=

1

3

，
∴数列{a_n}是以1为首项，以

1

3

为公比的等比数列，
则Sn=

1×(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
∴

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查函数的运算性质，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于由函数关系式得到数列递推式，考查了数列极限的求法，是中档题．