Question

14．若函数f（x）=a^x-b（a＞0，且a≠1，b∈R）的定义域和值域都是[-1，1]，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．

解答 解：当a＞1时，函数f（x）=a^x-b在定义域上是增函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=1\\ \frac{1}{a}-b=-1\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{2}$，a=1+$\sqrt{2}$；
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x-b在定义域上是减函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ \frac{1}{a}-b=1\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{2}$，a=-1+$\sqrt{2}$，
故$f（x）=（1+\sqrt{2}）^{x}-\sqrt{2}$，或$f（x）={（-1+\sqrt{2}）}^{x}-\sqrt{2}$

点评 本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．