Question

11．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过原点任作一条不与x轴重合的直线与椭圆交于A、B两点，若x轴上存在点C使得k_CA•k_CB=-$\frac{1}{2}$恒成立，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通过设A（acosα，bsinα）、B（-acosα，-bsinα），设C（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，利用斜率计算公式及平方关系计算可知k_CA•k_CB=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，进而可知a²=2b²，利用离心率公式计算即得结论．

解答 解：依题意，设A（acosα，bsinα）、B（-acosα，-bsinα），
设C（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴k_CA•k_CB=$\frac{y-bsinα}{x-acosα}$•$\frac{y+bsinα}{x+acosα}$
=$\frac{{y}^{2}-{b}^{2}si{n}^{2}α}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=$\frac{（{b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•{x}^{2}）-{b}^{2}si{n}^{2}α}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=$\frac{{b}^{2}co{s}^{2}α-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•{x}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=-$\frac{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α）}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
又∵k_CA•k_CB=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a²=2b²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．