Question

14．求圆心在直线x-y-4=0上，且过两圆x²+y²-4x-6=0和x²+y²-4y-6=0的交点的圆的方程．

Answer 1

分析 设所求的圆的方程为（x²+y²-4x-6）+λ（x²+y²-4y-6）=0，把它的圆心坐标为（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$）代入直线x-y-4=0，求得λ的值，可得要求的圆的方程．

解答 解：设经过两圆x²+y²-4x-6=0和x²+y² -4y-6=0的交点的圆的方程为（x²+y²-4x-6）+λ（x²+y²-4y-6）=0，
即x²+y²-$\frac{4}{1+λ}$x-$\frac{4λ}{1+λ}$y-$\frac{6+6λ}{1+λ}$=0，则它的圆心坐标为（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$）．
再根据圆心在直线x-y-4=0上，可得 $\frac{2}{1+λ}$-$\frac{2λ}{1+λ}$-4=0，解得λ=-$\frac{1}{3}$，
故所求的圆的方程为 x²+y²-6x+2y-6=0．

点评 本题主要考查利用待定系数法求满足条件的圆的方程，属于中档题．