Question

6．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$的最小值为2010+2$\sqrt{2009}$．

Answer 1

分析 由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，然后进行等量代换，即把解析式中的1换为sinx+1-sinx，然后利用基本不等式求出最小值．

解答 解：由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$=$\frac{1-sinx+sinx}{sinx}$+2009×$\frac{sinx+1-sinx}{1-sinx}$=2010+$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{2009sinx}{1-sinx}$≥2010+2$\sqrt{\frac{1-sinx}{sinx}•\frac{2009sinx}{1-sinx}}$=2010+2$\sqrt{2009}$，
当且仅当$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{2009sinx}{1-sinx}$取等号，
故答案为：2010+2$\sqrt{2009}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题