Question

2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号．某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为x₁（x₁=100万辆），第n年（2013年为第1年，2014年为第2年，依此类推）年初的拥有量记为x_n，该年的增长量y_n和x_n与1-

xn

m

的乘积成正比，比例系数为λ（0＜λ＜1），其中m=200万．
（1）证明：y_n≤50λ；
（2）用x_n表示x_n+1；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用分析法进行证明即可；
（2）由题意，x_n+1=x_n+y_n，则x_n+1=x_n+λx_n（1-

xn

200

）．按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即x_n≤200，利用数学归纳法进行证明．

解答： （1）证明：依题y_n=λx_n（1-

xn

m

）                          …（2分）
∴只需证明x_n（1-

xn

m

）≤50 
∵m=200，即证（x_n-100）²≥0．
上式显然成立，∴y_n≤50λ．                      …（5分）
（2）解：由题意，x_n+1=x_n+y_n，∴x_n+1=x_n+λx_n（1-

xn

200

）
按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即x_n≤200．…（6分）
证明如下：当n=1时，x₁=100，显然成立．
假设n=k时，x_k≤200成立．
则当n=k+1时，x_k+1=x_k+λx_k（1-

xk

200

）是关于x_k的一个二次函数，
令f（x）=-

λ

200

x²+（1+λ）x，（x≤20）
其对称轴x=

100(1+λ)

λ

＞200，∴f（x）在（0，200）上递减，
∴f（x）＜f（200），即x_k+1≤200
综上所述，x_n≤200成立．                          …（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，考查数学归纳法的运用．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．