Question

19．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．

Answer 1

分析 三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．

解答 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为1，1，$\sqrt{2}$，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
球心到底面的距离为1，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴球的半径为r=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
外接球的表面积为：4πr²=5π
故答案为：5π．

点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．