Question

9．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{2a+b}$+$\frac{1}{b+1}$=1，则a+2b的最小值为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把a+2b变形为a+2b=$\frac{（2a+b）+3（b+1）}{2}$-$\frac{3}{2}$，再利用已知可得a+2b=（$\frac{2a+b}{2}$+$\frac{3（b+1）}{2}$）（$\frac{1}{2a+b}$+$\frac{1}{b+1}$），利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{2a+b}$+$\frac{1}{b+1}$=1，
∴a+2b=$\frac{（2a+b）+3（b+1）}{2}$-$\frac{3}{2}$=（$\frac{2a+b}{2}$+$\frac{3（b+1）}{2}$）（$\frac{1}{2a+b}$+$\frac{1}{b+1}$）-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{2a+b}{2（b+1）}$+$\frac{3（b+1）}{2（2a+b）}$+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{2a+b}{2（b+1）}•\frac{3（b+1）}{2（2a+b）}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
当且仅当$\frac{2a+b}{2（b+1）}$=$\frac{3（b+1）}{2（2a+b）}$，a＞0，b＞0，且$\frac{1}{2a+b}$+$\frac{1}{b+1}$=1，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取等号，
∴则a+2b的最小值为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了不等式的基本性质，恰当变形利用基本不等式是解题的关键．