Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为2

7

，O₁是A₁C₁和B₁D₁的交点，则异面直线O₁C与A₁B所成角的余弦值是（　　）

• A、

  15

  4

• B、

  1

  4

• C、

  3

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A₁（0，0，0），B(2，0，2

7

)，C(2，2，2

7

)，O₁（1，1，0）．
∴

A1B

=(2，0，2

7

)，

O1C

=(1，1，2

7

)．
∴

A1B

•

O1C

=2+0+28=30，|

A1B

|=4

2

，|

O1C

|=

30

．
∴cos＜

A1B

，

O1C

＞=

A1B • O1C

| A1B | | O1C |

=

30

4 2 × 30

=

15

4

．
∴异面直线O₁C与A₁B所成角的余弦值为

15

4

．
故选：A．

点评：本题考查了空间向量的夹角公式，属于基础题．