题目内容
设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足
+
=1时，则连接p
，q
两个向量终点的直线是否通过一个定点？并证明你的结论．
| 1 |
| p |
| 1 |
| q |
| OA |
| OB |
考点：过两条直线交点的直线系方程
专题：空间向量及应用
分析：先给出判断，然后给出证明：设M是连接p
，q
两个向量终点的直线上的动点，得到
-p
=t（q
-p
），其中t为参数，代入p，q化简求解．
| OA |
| OB |
| OM |
| OA |
| OB |
| OA |
解答：解：结论：连接p
，q
两个向量终点的直线过定点，
证明如下：
设
=
+
，则C为定点，
设M是连接p
，q
两个向量终点的直线上的动点，则
-p
=t（q
-p
），其中t为参数，
∵
+
=1，
∴q=
，
∴
=p
+t（
-p
）=p
+
×（
+
-p
），
当t=
时，
=
+
=
，
∴连接p
，q
两个向量终点的直线过定点C．
| OA |
| OB |
证明如下：
设
| OC |
| OA |
| OB |
设M是连接p
| OA |
| OB |
| OM |
| OA |
| OB |
| OA |
∵
| 1 |
| p |
| 1 |
| q |
∴q=
| p |
| p-1 |
∴
| OM |
| OA |
| p |
| p-1 |
| OB |
| OA |
| OA |
| tp |
| p-1 |
| OB |
| OA |
| OA |
当t=
| p-1 |
| p |
| OM |
| OA |
| OB |
| OC |
∴连接p
| OA |
| OB |
点评：本题考查空间点线面的位置关系，利用向量法求解可以简化计算．
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