Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成30°的二面角D-AB-C，如图二，在二面角D-AB-C中．
（1）求D、C之间的距离；
（2）求CD与面ABC所成的角的大小；
（3）求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）依题意建立空间直角坐标系使得△ABC在yoz平面上，由已知条件分别求出点C和点D的空间坐标，利用空间两点间的距离公式能求出D、C之间的距离．
（2）由题设条件求出面ABC的一个法向量和向量

CD

，利用向量法能求出CD与平面ABC所成的角．
（3）

AH

=t

AB

，假设

CH

⊥

BA

，求出t的值，而此时CH和BD不垂直，CH不可能同时垂直BD和BA，问题得以证明

解答： 解：（1）依题意，∠ABD=90°，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，
∵△ABD与△ABC成30°的二面角，∴∠DBY=30°，
又AB=BD=2，∴A（0，0，2），B（0，0，0），
C（0，

3

，1），D（1，

3

，0），
|CD|=

12+02+(-1)2

=

2

，
（2）∵x轴与面ABC垂直，∴（1，0，0）是面ABC的一个法向量．
设CD与面ABC成的角为θ，
∵

CD

=（1，0，-1），
∴sinθ=

|(1，0，0)•(1，0．-1)|

12+02+02 • 12+02+(-1)2

=

2

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

4

；
∴CD与平面ABC的所成角是

π

4

．
（3）设

AH

=t

AB

=t（1，

3

，-2）=（t，

3

t，-2t），
∴

CH

=

CA

+

AH

=（0，-

3

，1）+（t，

3

t，-2t）=（t，

3

t-

3

，-2t+1），
若

CH

⊥

BA

，则（t，

3

t-

3

，-2t+1）•（0，0，2）=0，
解得t=

1

2

，
∴此时

CH

=（

1

2

，-

3

2

，0）
∵

BD

=（1，

3

，0），
∴

CH

•

BD

=

1

2

-

3

2

=-1≠0，
∴CH和BD不垂直，
即CH不可能同时垂直BD和BA，
即对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直．

点评：本题考查空间两点间的距离的求法，直线与平面所成角的大小的求法，线面垂直的判定定理，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，用向量法求解，属于中档题