题目内容
18．
如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）| A． | O-ABC是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心） | |
| B． | 直线OB∥平面ACD | |
| C． | OD⊥平面ABC | |
| D． | 直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |
分析 结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
解答 解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，∴O-ABC是正三棱锥，
故A正确．
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．
OD⊥平面ABC，正确；
对于D，CD在平面ABC上的射影为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，正确．
故选：B．
点评 本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．
练习册系列答案
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