Question

10．已知向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（1+sinθ，1-cosθ）（O为原点，θ∈R），则向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的长度的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质可得：向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（1+sinθ-cosθ，1-cosθ-sinθ），|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{4-4cosθ}$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（1+sinθ-cosθ，1-cosθ-sinθ），
|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{（1+sinθ-cosθ）^{2}+（1-cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{2（1-cosθ）^{2}+2si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{4-4cosθ}$≤$2\sqrt{2}$，
当cosθ=-1时取等号．
∴向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的长度的最大值是2$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质、三角函数基本关系式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．