Question

（本小题满分14分）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线相切.

（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长；

（2）过点G（1,3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；

（3）若与直线垂直的直线不过点R（1,-1），且与圆C交于不同的两点P，Q.若∠PRQ为钝角，求直线的纵截距的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）已知得圆的半径为圆心到直线的距离，求得半径r=2，所以圆的标准方程为：；通过半弦长与半径、弦心距的关系求得弦AB长为；（2）由题意知点M、N在以点为圆心，线段长为半径的圆G上，而，所以，圆G的方程为，与圆C的方程相减得公共弦MN的方程；（3）由已知可设直线的方程为：，联立圆的方程化简得，得，由根与系数的关系得，又为钝角，所以,变形化简得，而当b=0时直线过点R（1，-1），所以纵截距b的取值范围是.

试题解析：（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，

，所以圆的标准方程为：

所以圆心到直线的距离

（2）因为点,所以,

所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）

又圆方程为： （2），由得直线方程：

（3）设直线的方程为：联立得：，

设直线与圆的交点，

由，得， （3）

因为为钝角，所以,

即满足，且与不是反向共线，

又，

所以 （4）

由（3）（4）得，满足，即，

当与反向共线时，直线过（1，-1），此时，不满足题意，

故直线纵截距的取值范围是，且

考点：直线与圆的位置关系与向量的数量积运算的应用