Question

本题共14分）已知函数。

（1）求的定义域；

（2）判定的奇偶性；

（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

（1）定义域为；（2）在定义域上为奇函数；（3）；

【解析】

试题分析：这是一道比较综合的题目，（1）考的是对数函数定义域的注意事项?分母不能为零?真数大于零（2）把握住判断函数奇偶性的方法，若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数。在处理奇偶性的问题时，一定要注意定义域的取值是否关于原点对称。（3）由单调性来研究值域的典型例题，考查同学对二次函数根与系数的分布知识的掌握情况。通常在研究此类问题时，我们从，对称轴，以及函数值的正负情况等三方面入手。

试题解析：【解析】
（1）由

所以，的定义域为。 .3分

（2）

所以，在定义域上为奇函数；。 ...7分

（3）假设存在这样的实数a，

则由有意义，可知：；

又

令上递增。

而上递减。

. 10分

即m，n是方程的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程上有两个不同的实数解。

令 则有：

故存在这样的实数符合题意。 14分

考点：对数函数定义域的求法以及奇偶性的判定，二次函数根与系数的分布