Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．

(1) 求抛物线C的标准方程；

(2) 求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3) 设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

Answer 1

解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y²＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y²＝2x.

(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－＝0.

(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.

将x＝＋m代入y²＝2x，有ky²－2y－2km＝0，解得y_1，2＝.

由ME＝2DM知1＋，化简得k²＝.

因此DE²＝(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²＝＝(m²＋4m)，所以f(m)＝ (m>0)．

．因此t＝－2s，m＝s².

所以f(m)＝DE＝ (m>0)．