Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设G、H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH.

① 当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

② 是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：( 1) 因为＝，＝，a²＝b²＋c^2,  

解得a＝3，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.

所以OG＝，OH＝，所以S_△GOH＝.

② 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG·OH＝R·GH，

因为OG²＋OH²＝GH²，故

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为y＝kx,

由所以OG²＝， 

同理可得OH²＝，(将OG²中的k换成－可得) 

＋＝＝，R＝，

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得＋＝＝，

故满足条件的定圆方程为：x²＋y²＝.