Question

数列{a_n}{b_n}中，a 1=1，b1=2，且an+1+(-1)nan=bn，n∈N^*，设数列{a_n}{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求A_n和B_n；
（2）若数列{b_n}是公比q（q≠1）为等比数列：
    ①求A₂₀₁₃；
    ②是否存在实数m，使A_4n=m•a_4n对任意自然数n∈N^*都成立，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列{a_n}是等差数列可得a_n=2n-1，然后求出A_n，分情况即可表示出B_n；
（2）①根据等比数列的前n项和公式即可求出A₂₀₁₃；
②分情况讨论，n是奇数和偶数时的A_n，从而得出A_4n，假设存在符合条件的m，建立方程组求解．

解答： 解：（1）∵a 1=1，b1=2，且an+1+(-1)nan=bn，n∈N^*
∴a₂-a₁=b₁，
即a₂=3，
∵数列{a_n}是等差数列，
∴d=a₂-a₁=3-1=2．
∴a_n=2n-1，
∴An=

n(1+2n-1)

2

=n2，
当n是奇数时，
B_n=b₁+b₂+…+b_n
=（a₂-a₁）+（a₃+a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n+1-a_n）
=-a₁+2（a₂+a₄+…+a_n-1）+a_n+1
=n²+3n．
∴Bn=

n2+n，n是奇数 n2+3n，n是偶数

．
（2）①A₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃
=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）
=a₁+b₂+b₄+b₆+…+b₂₀₁₂
=a1+b2

1-(q2)1006

1-q2

=

2(q2)1006

q2-1

+

q2-2q-1

q2-1

．
②一般地，当n是奇数时，
A_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=a₁+b₂+b₄+b₆+…+b_n-1
=a1+b2

1-(q2) n-1 2

1-q2

=

2qn

q2-1

+

q2-2q-1

q2-1

．
又n是奇数时，
b_n+1-b_n
=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1-a_n）
=a_n+a_n+2．
n是偶数时，
b_n+1+b_n
=（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1+a_n）
=a_n+a_n+2．
∴当n是4的倍数时，
A_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=[（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a_n-3+a_n-1）]+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_n-2+a_n）]
=[（b₂-b₁）+（b₆-b₅）+…+（b_n-2-b_n-3）]+[（b₂+b₃）+（b₆+b₇）+…+（b_n-2+b_n-1）]
=(b2-b1)×

1-(q4) n 4

1-q4

+(b2+b3)×

1-(q4) n 4

1-q4

=

(2q2+4q-2)(qn-1)

q4-1

．
由A_4n=m•a_4n，得
A_4n=m（A_4n-A_4n-1）．
即

m-1

m

A4n=A4n-1．对任意n∈N^*恒成立．
即

m-1

m

(2q2+4q-2)(qn-1)

q4-1

=

2q4n-1

q2-1

+

q2-2q-1

q2-1

．对任意n∈N^*恒成立
∴

2 q =-(q2-2q-1) m-1 m • 2q2+4q-2 q4-1 = 2 q(q2-1)

．
解得：

q=2 m= 14 9

．
即当q=2时，存在实数m=

14

9

，使A_4n=m•a_4n对任意自然数n∈N^*都成立．
当q≠2时，不存在实数m使A_4n=m•a_4n对任意自然数n∈N^*都成立．

点评：本题考查数列递推式的应用，等差数列和等比数列的概念和性质，存在性问题的解题技巧，分析和处理数据的能力，属于难题．