Question

18．已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前2016项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a_n}前2016项中剩余项的和．

Answer 1

分析 （1）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2．可得：S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，利用递推关系即可得出．
（2）由（1）知数列{a_n}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 016项也为等比数列，首项a₃=2^3-1=4，公比2³=8，a₂₀₁₆=2²⁰¹⁵=4×8^672-1为其第672项，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2．
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，
当n=1时，a₁=S₁=2¹-1=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
经验证可知n=1时，也适合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（2）由（1）知数列{a_n}为等比数列，公比为2，
故其第3项，第6项，…，第2 016项也为等比数列，首项a₃=2^3-1=4，公比2³=8，
a₂₀₁₆=2²⁰¹⁵=4×8^672-1为其第672项，
∴此数列的和为$\frac{{4（1-{8^{672}}）}}{1-8}=\frac{{4（{2^{2016}}-1）}}{7}$，
又数列{a_n}的前2 016项和为${S_{2016}}=\frac{{1×（1-{2^{2016}}）}}{1-2}={2^{2016}}-1$，
∴所求剩余项的和为（2²⁰¹⁶-1）-$\frac{{4（{2^{2016}}-1）}}{7}$=$\frac{{3（{2^{2016}}-1）}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．