题目内容
6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个顶点为M（0，-1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若存在关于过点M的直线，使得点A与点B关于该直线对称，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，用m表示△MAB的面积S，并判断S是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
分析 （I）由题意可得b=1，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，及两点的距离公式，化简整理，解不等式即可得到所求范围；
（III）运用两点的距离公式和点到直线的距离，以及三角形的面积公式，由导数判断单调性，计算即可得到面积的最值情况．
解答 解：（I）由椭圆C的一个顶点为M（0，-1），可得b=1，
由离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又a2=b2+c2，解得a2=3，
即有椭圆$C：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=3\\ y=kx+m\end{array}\right.$
得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0
所以△=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-3）＞0，即有m2＜3k2+1
可得${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$，
${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{3{k^2}+1}}$．
由A，B关于过点M（0，-1）的直线对称，
可得|MA|=|MB|，
即${x_1}^2+{（{y_1}+1）^2}={x_2}^2+{（{y_2}+1）^2}$，
（x2+x1）（x2-x1）+（y2+y1+2）（y2-y1）=0，
即有（x2+x1）+k（y2+y1+2）=0，
$-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}+（\frac{2m}{{3{k^2}+1}}+2）k=0$，即为2m=3k2+1＞1（k≠0），
又△=12m（2-m）＞0，
故$\frac{1}{2}＜m＜2$；
（III）$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{12m（2-m）}}}{{3{k^2}+1}}$，
A到l：y=kx+m的距离$d=\frac{{|{m+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
则${S_{△MAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d$=$\frac{1}{2}×\frac{{|{m+1}|\sqrt{12m（2-m）}}}{2m}$，
所以${S^2}=\frac{3}{4}（3+\frac{2}{m}-{m^2}）$，
设$f（m）=3+\frac{2}{m}-{m^2}（\frac{1}{2}＜m＜2）$，
则导数$f'（m）=-2m-\frac{2}{m^2}＜0$，
所以f（m）在$（\frac{1}{2}，2）$上是减函数，
所以面积S无最大值．
点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 3 |
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |