Question

3．已知，如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．

（1）求证：M，N，P，Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理可得PQ∥DE∥MN，故PQ∥MN，于是四点共面；
（2）利用折叠前后的垂直关系不变性可得出DE⊥平面ADC，又DE∥BC，故而BC⊥平面DAC，于是平面ABC⊥平面ACD；
（3）四棱锥的底面为直角梯形，高为AD，代入公式计算即可．

解答 证明：（1）∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，
∴PQ∥DE，MN∥DE，
∴PQ∥MN，
∴M，N，P，Q四点共面．
（2）∵折叠前DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，∴DE⊥AB．
∴折叠后DE⊥AD，DE⊥CD，
又折叠后AD?平面ADC，CD?平面ADC，AD∩CD=D，
∴DE⊥平面ADC，又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面DAC，∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．
（3）∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，AD⊥DE，
∴AD⊥平面BCDE，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC=1$，AD=CD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴四棱锥A-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×1$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面的基本性质，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，注意折叠前后的变量与不变量是解题关键．