Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n项和为T_n，证明：$\frac{3}{2}≤{T_n}$＜5．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，验证a₁=S₁=3也满足上式
可得数列{a_n}的通项公式．
（2）利用错位相减法求出数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n项和 ${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，得T_n关于n单调递增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，即可得$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
又当n=1时，a₁=S₁=3也满足上式
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（2）证明：数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n项和为${T_n}=3×\frac{1}{2}+5×\frac{1}{2^2}+…+（2n+1）×\frac{1}{2^n}$，
                                       $\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2^2}+5×\frac{1}{2^3}+…+（2n-1）×\frac{1}{2^n}+（2n+1）×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
两式错位相减得$\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{{2^{n+1}}}}$，
得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，故T_n关于n单调递增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
综上，$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

点评 本题考查了数列的递推式，数列的通项公式的求法，考查了错位相减法求和及数列的单调性，属于中档题．