Question

已知定点A(－2, 0)和B(2, 0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲线E的方程；

（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）由双曲线的定义得：曲线E是以A，B为焦点的双曲线的右支，所以曲线E的方程为：x²－＝1(x＞0)                         

（2）若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为：y＝k(x－2)

由，得(3－k²)x²＋4k²x－(4k²＋3)＝0       

设p(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，这里x₁＞0，x₂＞0

则：    得：k²＞3  

|PQ|＝|x₁－x₂|＝＝6＋＞6       

若直线PQ垂直于x轴，则直线PQ的方程为x＝2。       

这时P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，

综上：|PQ|_min＝6  ……………………………9分

（3）据题意得：|CR|＝|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，

由|CR|＝－a＝－a                       

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1 

若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a 

∴a＝－1。                                        

综上a≤－1。