Question

【题目】设函数，().

（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数am的值；

（2）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论；

（3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），.（2）不可能有三个不同的实根，证明见解析. （3）

【解析】

（1）求导根据导数等于斜率，过点计算得到答案.

（2）讨论，得到在至多1个实根，得到答案.

（3）不等式等价于，令，则，根据单调性得到答案.

（1），则，故，，

解得，.

（2）不可能有三个不同的实根，证明如下：

令，

如果有三个不同的实根，则至少要有三个单调区间，

则至少两个不等实根，所以只要证明在至多1个实根，

，，

1°当时，，，∴，∴在单调递增，∴在至多1个实根；

2°当时，，∴在单调递增，

∴，又因为时，∴，

∴在没有实根

综合1°2°可知，在至多1个实根，所以得证.

（3）∵对任意恒成立，且，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

令，

则对任意恒成立，

∵时，且，，

∴在单调递增∴在恒成立，

∴.