Question

【题目】已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.

（1）求证：直线平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.

（1）连接，设，连接，

因为，所以，所以，

在中，因为，

所以，且平面，

故平面.

（2）因为，，，，，所以，

因为，平面，所以平面，

所以，，

取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得，，，，

所以，因为，

所以，

所以点的坐标为，

所以，，设为平面的法向量，

则，令，解得，，

所以，即为平面的一个法向量.

，

同理可求得平面的一个法向量为

所以

所以二面角的正弦值为