题目内容
【题目】如图所示，四棱锥
中，
，
，
，
，点
分别为
的中点．
（1）证明：平面
∥平面
；
（2）若
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由题可知，
，结合
为正三角形，进而证得
，利用面面平行的判定定理，即可证明：平面
∥平面
；
（2）取
中点
，连结
，通过线面垂直的性质和判定定理，即可证出
平面
，建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出空间异面直线的夹角的余弦值.
（1）如图，因为
分别为
的中点，所以，
平面，∴
平面；
又
，
，所以为正三角形，
又
，
，所以
，
，
又
，所以，∴
平面
因为
，
所以平面
平面．
（2）如图，取中点，连结，
因为
，
，
所以为正三角形，所以
，
又因为
为等腰三角形，所以
，
所以
三点共线，所以
，
因为
，所以
，
，，
所以
，所以
，
，
又
，所以
，
所以
，又
，所以平面．
以为坐标原点，
分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
设异面直线
与
所成角为
，
所以
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
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