Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点

【解析】

（1）由题意可得方程解方程后即可得解；

（2）设直线，，，假设存在点，设，由题意，联立方程组表示出、，代入即可得解.

（1）由题意得，解得:，，.

所以椭圆的标准方程为：.

（2）依题意，若直线的斜率不为零，可设直线，，.

假设存在点，设，由题设，，且，.

设直线，的斜率分别为，，

则，.

因为，在上，

故，，

而轴上任意点到直线，距离均相等等价于“平分”，

继而等价于.

则.

联立，消去得：，

有，.

则，

即，故或（舍）.

当直线的斜率为零时，也符合题意.

故存在点，使得轴上任意点到直线，距离均相等.