Question

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（i）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（ii）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

Answer 1

(1)；(2) （i）,（ii）

试题分析：（1）由题意得 又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．                               ……4分
（2）（i）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，，
所以．               ……6分
设，由题意知，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此，              ……8分
又，所以，故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．                    ……10分
（ii）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，        
所以，
，．                     ……12分
由于
，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．……14分
当，．当不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．……16分
解法二：
因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.