Question

已知an=(

1

3

)n，把数列{a_n}的各项排成如右图所示三角形形状，记A（m，n）表示第m行、第n列的项，则A（10，8）=

(

1

3

)89

，a₁₂₀在图中的位置为

A（11，20）

．

Answer 1

分析：根据观察三角形的形状，发现第一行1项，第二行3项，第三行5项…可以推断每行的项数满足等差数列b_n=2n+1，算出前9行的总项数加8就可以知道A（10，8）=a₈₉的值，设出a₁₂₀在图中的位置为A（m，n），列出方程求出m，n的值，得到a₁₂₀位置．

解答：解：由题意知：
   观察三角形发现第一行共1项，第二行共3项，第三行共5项，…可以猜测第n行共2n-1项，因为A（10，8）是第十行第八列，故前九行的项数总和是S9=

9(1+17)

2

=81，
  再加上第十行的8项就是A（10，8）=a₈₉=(

1

3

)89
  设a₁₂₀在图中的位置为A（m，n），
则120=

(m-1)(1+2m-3)

2

+n
即120=（m-1）²+n（m，n∈N），
当所以m=11，n=20
故答案为(

1

3

)89，A（11，20）

点评：本题主要考查学生对数列的观察能力，应用能力，及等差数列的前n项和公式，属中档题型．