Question

7．各项为正数的数列{a_n} 的前n项和为S_n，且满足：S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设函数f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{f（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，C_n=f（2ⁿ+4）（n∈N⁺），求数列{C_n}的前n项和T_n．．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用分段函数的性质、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{1}{4}{a_n}^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{4}$①得，
当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{4}$②；
由①-②化简得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵数列{a_n}各项为正数，∴当n≥2时，a_n-a_n-1=2，
故数列{a_n}成等差数列，公差为2，又${a_1}={S_1}=\frac{1}{4}{a_1}^2+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{4}$，
解得a₁=1，∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由分段函数$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n为奇数\\ f（\frac{n}{2}），n为偶数\end{array}\right.$，可以得到：c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；
当n≥3，n∈N^*时，${c_n}=f（{2^n}+4）=f（{2^{n-1}}+2）=f（{2^{n-2}}+1）=2（{2^{n-2}}+1）-1={2^{n-1}}+1$，
故当n≥3时，${T_n}=5+1+（{2^2}+1）+（{2^3}+1）+…+（{2^{n-1}}+1）$=$6+\frac{{4（1-{2^{n-2}}）}}{1-2}+（n-2）={2^n}+n$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}5，n=1\\{2^n}+n，n≥2\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、分段函数的性质、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．