Question

17．已知幂函数f（x）过点$（2，\sqrt{2}）$，则满足f（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根据幂函数y的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f（2-a）＞f（a-1）化为等价的不等式组，求出解集即可．

解答 解：设幂函数y=f（x）=x^α，α∈R；
其图象过点$（2，\sqrt{2}）$，
∴2^α=$\sqrt{2}$，
解得α=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$；
∴不等式f（2-a）＞f（a-1）可化为
$\sqrt{2-a}$＞$\sqrt{a-1}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞a-1}\\{a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得1≤a＜$\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：$[1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．