Question

9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D₁EC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D₁EC的距离．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
点E为AB的中点，
以D为原点，建立空间直角坐标系，如图
∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），
D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
设平面D₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=-x-y+z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∴点B到平面D₁EC的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．