Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（-3，0），B（3，0），动点M满足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=1，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=kx+4与C交于P，Q两点，且|PQ|=6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，求C的方程；
（2）由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，即可求k的值．

解答 解：（1）设M（x，y），则
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=1，
∴（-3-x，-y）•（3-x，-y）=1，
∴x²+y²=10，即C的方程为x²+y²=10；
（2）由题意，圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{10-9}$，
∴$k=±\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积公式，考查关键方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．