Question

【题目】已知，.

（I）若，求函数在点处的切线方程；

（II）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（III）令，（是自然对数的底数），求当实数等于多少时，可以使函数取得最小值为3.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

试题分析：（I）当时，，，，.由点斜式可得切线方程为；（II）函数在上是增函数，导数恒为非负数，分离参数得在上恒成立.利用基本不等式求得右边函数最小值为，所以；（III），，对分成，且，且三种情况讨论最值的情况，进而求得.

试题解析：

（I）当时，，∴，∴，，

∴函数在点处的切线方程为.

（II）函数在上是增函数，

∴在上恒成立，

即在上恒成立.

令，则，当且仅当时，取“=”号.

∴，

∴的取值范围为.

（III）∵，∴.

（1）当时，，∴在上单调递减，

，（舍去）.

（2）当且时，，在上恒成立，

∴在上单调递减，∴，，（舍去）.

（3）当且时，，令，则，令，则，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴满足条件.

综上所述，当实数时，使的最小值为3.